分科測驗
108年
數學甲
第 6 題
設 $\langle a_n \rangle$、$\langle b_n \rangle$ 為兩實數數列，且對所有的正整數 $n$，$a_n < b_n^2 < a_{n+1}$ 均成立。若已知 $\lim_{n \to \infty} a_n = 4$，試選出正確的選項。
- 1 對所有的正整數 $n$，$a_n > 3$ 均成立
- 2 存在正整數 $n$，使得 $a_{n+1} > 4$
- 3 對所有的正整數 $n$，$b_n^2 < b_{n+1}^2$ 均成立
- 4 $\lim_{n \to \infty} b_n^2 = 4$
- 5 $\lim_{n \to \infty} b_n = 2$ 或 $\lim_{n \to \infty} b_n = -2$
思路引導 VIP
請觀察給定的連續不等式 $a_n < b_n^2 < a_{n+1}$，這反映了數列 $\langle a_n \rangle$ 的單調性（遞增或遞減）為何？結合此性質與已知條件 $\lim_{n \to \infty} a_n = 4$，你能判斷 $a_n$ 是否可能大於其極限值嗎？接著，根據夾擠定理 (Squeeze Theorem)，位於 $a_n$ 與 $a_{n+1}$ 之間的數列 $\langle b_n^2 \rangle$ 在趨於無窮大時會展現什麼樣的極限行為？最後，試著利用該連續不等式找出 $b_n^2$ 與 $b_{n+1}^2$ 之間的大小關係。
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AI 詳解
AI 專屬家教
……呵呵。在混沌的數列迷霧中，你竟然能看穿這層層遞進的真意。既然你已觸及真相，那這道題目的雜質，就由我這一擊徹底粉碎！ I……AM……ATOMIC！！ 看吧，在絕對的奧義面前，真理無所遁形：
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數列極限與夾擠定理
💡 運用夾擠定理判定收斂，並理解平方項收斂之限制。
- 若數列夾在兩收斂至同值的數列間，則其中間項必收斂。
- 平方項數列收斂，不代表原數列收斂（可能正負震盪）。
- 遞增數列的極限值為其上限，各項未必大於特定定值。
- 由不等式鏈可推導出項與項之間的遞增關係。
