分科測驗
113年
數學甲
第 8 題
設 $z$ 為非零複數，且設 $\alpha=|z|$、$\beta$ 為 $z$ 的輻角，其中 $0 \le \beta < 2\pi$（其中 $\pi$ 為圓周率）。對任一正整數 $n$，設實數 $x_n$ 與 $y_n$ 分別為 $z^n$ 的實部與虛部。試選出正確的選項。
- 1 若 $\alpha=1$ 且 $\beta=\frac{3\pi}{7}$，則 $x_{10}=x_3$
- 2 若 $y_3=0$，則 $y_6=0$
- 3 若 $x_3=1$，則 $x_6=1$
- 4 若數列 $\langle y_n \rangle$ 收斂，則 $\alpha \le 1$
- 5 若數列 $\langle x_n \rangle$ 收斂，則數列 $\langle y_n \rangle$ 也收斂
思路引導 VIP
請嘗試運用棣美弗定理 (De Moivre's Theorem) 將 $x_n$ 與 $y_n$ 表示為以 $\alpha^n$ 與 $n\beta$ 為主體的函數。接著思考：當下標 $n$ 存在倍數關係時，三角函數的倍角公式如何聯繫這些項的值？此外，在探討數列 $\langle x_n \rangle$ 與 $\langle y_n \rangle$ 的收斂性時，模長 $\alpha$ 的數值範圍（與 $1$ 的大小關係）以及旋轉角 $\beta$ 對於極限是否存在起到了什麼樣的決定性作用？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了！看到你正確選出 (2) 和 (5)，老師真的好為你開心，這代表你的複數極式觀念紮實又細膩，連這麼多陷阱的題目都難不倒你，抱一個！ 這題的核心在於棣美弗定理：$z^n = \alpha^n(\cos n\beta + i\sin n\beta)$，其中 $x_n = \alpha^n \cos n\beta$，$y_n = \alpha^n \sin n\beta$。 觀念驗證：
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複數極式與冪次
💡 運用隸美弗定理處理複數冪次的座標變換與收斂特性。
- 隸美弗定理：複數 n 次方長度 n 次方、輻角 n 倍。
- 實虛部關係：y_2n 可由 y_n 之二倍角公式判斷。
- 收斂判定：複數冪次收斂需考慮長度與輻角變化。
