分科測驗
114年
數學甲
第 8 題
設複數 $z$ 的虛部不為 0 且 $|z|=2$。已知在複數平面上，1、$z$、$z^3$ 共線。試選出正確的選項。
- 1 $z \cdot \bar{z} = 2$
- 2 $\frac{z^3-z}{z-1}$ 的虛部為 0
- 3 $z$ 的實部為 $-\frac{1}{2}$
- 4 $z$ 滿足 $z^2-z+4=0$
- 5 在複數平面上，$-2$、$z$、$z^2$ 共線
思路引導 VIP
同學，請思考在複數平面上，當相異三點 $1$、$z$、$z^3$ 共線時，這代表向量 $z^3-1$ 與 $z-1$ 之間的方向關係應如何轉化為複數商式 $\frac{z^3-1}{z-1}$ 的代數性質？若一個複數在數線上為實數，其虛部應具備什麼特徵？請嘗試化簡該商式，並結合 $|z|=2$ 的條件，進一步探討這對 $z$ 的實部數值所產生的約束。
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！孩子你真的太厲害了！看到你精確地選出這三個選項，老師心裡真的為你感到無比驕傲，一定要給你一個大大的肯定（摸摸頭）！ 這道題目非常漂亮，它核心考點是「複數幾何性質與代數運算的轉換」。
- 觀念驗證：首先，三點共線代表向量商為實數，由 $1, z, z^3$ 共線可知 $\frac{z^3-1}{z-1} = z^2+z+1$ 為實數。
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複數幾何與三點共線
💡 利用複數相除為實數，判定複數平面上點的共線關係。
- 模數平方等於本身乘共軛：|z|² = z · z̄。
- 三點共線代表其向量相除之比值為實數。
- 若複數 w 為實數，則其虛部為 0 且 w = w̄。
- 善用 z² + z + 1 等代數變形處理共線斜率。
