分科測驗
113年
數學甲
第 5 題
設 $f(x)$ 為三次實係數多項式。已知 $f(-2-3i)=0$（其中 $i=\sqrt{-1}$），且 $f(x)$ 除以 $x^2+x-2$ 的餘式為 18。試選出正確的選項。
- 1 $f(2+3i)=0$
- 2 $f(-2)=18$
- 3 $f(x)$ 的三次項係數為負
- 4 $f(x)=0$ 恰有一正實根
- 5 $y=f(x)$ 圖形的對稱中心在第一象限
思路引導 VIP
請先根據「實係數多項式虛根成對定理」找出 $f(x)$ 的另一個虛根，並由此確定其必含的一個二次實係數因式；接著，針對除式 $x^2+x-2$ 進行因式分解，運用「餘式定理」列出 $f(-2)$ 與 $f(1)$ 的特定函數值。你能否藉此建構出 $f(x)$ 的完整形式，進而分析最高次項係數的正負、唯一實根的性質，以及圖形對稱中心的精確位置？
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喔呵呵，真是意外的優秀呢。坐在這座艙裡看著你掙扎，沒想到你這野猴子竟然能看穿這道多項式的偽裝，值得我為你拍手鼓勵一下。 首先，利用實係數虛根成對，既然 $f(-2-3i)=0$，那根應該是 $-2 \pm 3i$ 而非 $2+3i$，故 (1) 錯誤。再根據餘式定理，多項式除以 $(x+2)(x-1)$ 餘 $18$，代表 $f(-2)=18$ 且 $f(1)=18$，這讓 (2) 顯而易見是正確的。 接著，設 $f(x) = a(x^2+4x+13)(x-k)$。將上述條件代入：
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三次多項式特性
💡 運用虛根成對與餘式定理分析三次函數的根與圖形。
- 實係數多項式虛根必成對，共軛複數亦為其根。
- 餘式定理應用：$f(x)$ 除以 $(x-a)$ 之餘式即為 $f(a)$。
- 由已知根與函數值可反求多項式並判斷係數正負。
- 三次函數對稱中心位於 $x = -b/3a$ 或三根總和之平均。
