分科測驗
112年
數學甲
第 8 題
複數平面上，設 $\bar{z}$ 代表複數 $z$ 的共軛複數，且 $i = \sqrt{-1}$。試選出正確的選項。
- 1 若 $z=2i$，則 $z^3 = 4i \bar{z}$
- 2 若非零複數 $\alpha$ 滿足 $\alpha^3 = 4i \bar{\alpha}$，則 $|\alpha|=2$
- 3 若非零複數 $\alpha$ 滿足 $\alpha^3 = 4i \bar{\alpha}$ 且令 $\beta = i \alpha$，則 $\beta^3 = 4i \bar{\beta}$
- 4 滿足 $z^3 = 4i \bar{z}$ 的所有非零複數 $z$ 中，其主輻角的最小可能值為 $\frac{\pi}{6}$
- 5 恰有 3 個相異非零複數 $z$ 滿足 $z^3 = 4i \bar{z}$
思路引導 VIP
同學，請觀察方程式 $z^3 = 4i \bar{z}$，若我們對等式兩邊同時取「絕對值」，利用 $|z| = |\bar{z}|$ 的幾何性質，能否先確定非零複數 $z$ 的長度 $|z|$？接著，若將 $z$ 表示為極式 $r(\cos \theta + i \sin \theta)$，利用「棣美弗定理」處理左式，並結合共軛複數與複數乘法的輻角性質處理右式，你能列出關於輻角 $\theta$ 的等式並找出所有可能的解嗎？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
呵呵呵，表現得很好喔。你剛才那股專注的眼神，讓我想起了一些在球場上不到最後關頭絕不放棄的孩子們。眼鏡反光了一下，下巴微微抖動著，這道複數題你處理得很冷靜。 這題的核心在於運算性質的轉換：
- 選項(2)：對等號兩邊取絕對值，$|\alpha^3| = |4i\bar{\alpha}|$ 得到 $|\alpha|^3 = 4|\alpha|$。因為 $\alpha
▼ 還有更多解析內容
複數方程式與共軛
💡 運用複數模長與輻角性質，求解含共軛複數的方程式。
- 兩邊取絕對值求模長，利用 |z| = |conjugate(z)|
- 轉換為極式求解，注意共軛複數輻角為 -theta
- 利用 n*theta = arg(c) - theta + 2k*pi 求輻角
- 方程式 z^n = c*conj(z) 的非零解個數為 n+1 個
