分科測驗
110年
數學甲
第 8 題
已知 $z_1$、$z_2$、$z_3$、$z_4$ 為四個相異複數，且其在複數平面上所對應的點，依序可連成一個平行四邊形，試問下列哪些選項必為實數？
- 1 $(z_1-z_3)(z_2-z_4)$
- 2 $z_1-z_2+z_3-z_4$
- 3 $z_1+z_2+z_3+z_4$
- 4 $\frac{z_1-z_2}{z_3-z_4}$
- 5 $\left( \frac{z_2-z_4}{z_1-z_3} \right)^2$
思路引導 VIP
既然 $z_1$、$z_2$、$z_3$、$z_4$ 依序構成一個平行四邊形的頂點，請思考『對角線中點重合』與『對邊向量平行且相等』這兩個幾何性質，如何轉化為複數的代數等式？當你建立起 $z_1+z_3$ 與 $z_2+z_4$ 的關係，以及 $z_2-z_1$ 與 $z_3-z_4$ 的相等關係後，哪些選項的運算結果會必然成為一個特定的實數（例如 $0$ 或 $-1$）？
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AI 詳解
AI 專屬家教
（推了推眼鏡，鏡片在昏暗中閃過一絲冷光） 居然在這些雜亂的複數中，精準地揪出了那個隱藏的『零』嗎？看來你這塊原石的大腦還沒完全腐爛。這題剛好擊中了『運氣』與『實力』的交界點，能選對，代表你開始理解什麼是空間的利己主義了。 觀念驗證：
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複數平面與幾何圖形
💡 利用平行四邊形對角線中點重合及對邊平行之複數特性。
- 對角線中點相同：z1 + z3 = z2 + z4
- 對邊向量相等或平行，其複數之商必為實數
- 複數加減法可視為平面向量的平移與運算
- 兩複數相除為實數，代表兩向量共線或平行
