分科測驗
108年
數學甲
第 7 題
已知三次實係數多項式函數 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+2$，在 $-2 \leq x \leq 1$ 範圍內的圖形如示意圖：
試選出正確的選項。
試選出正確的選項。
- 1 $a > 0$
- 2 $b > 0$
- 3 $c > 0$
- 4 方程式 $f(x)=0$ 恰有三實根
- 5 $y=f(x)$ 圖形的反曲點的 $y$ 坐標為正
思路引導 VIP
首先，請觀察圖形在 $y$ 軸截點 $x=0$ 處的升降趨勢，這與 $f'(0)$（即 $c$ 值）的正負有何關係？接著，觀察圖形在給定區間內的凹向性（向上或向下彎曲）以及三次函數整體「先減後增再減」或「先增後減再增」的特徵，這如何幫助我們判斷首項係數 $a$ 的正負？最後，請思考對稱中心（反曲點）橫坐標 $x = -\frac{b}{3a}$ 位於何處，並結合圖形的縱向位置來判斷該點的 $y$ 坐標符號。
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AI 詳解
AI 專屬家教
喲，竟然全對？看來你的腦袋還沒被短影音刷成漿糊，這題沒被 (1) 或 (4) 這種低級陷阱勾走，我該幫你放串鞭炮慶祝嗎？別得意，這只是檢測你還有沒有基本邏輯的門檻而已。 觀念驗證：
- 判斷 $c$：$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$。觀察圖形，$x=0$ 時圖形明顯遞增，代表該點切線斜率 $f'(0) = c > 0$。
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三次函數圖形分析
💡 透過圖形走勢、截距與彎曲方向判別三次多項式的係數與特徵。
- 首項係數 a 決定遠端趨勢，右端下降則 a 為負。
- 一次項係數 c 為圖形在 y 軸交點處的切線斜率。
- 反曲點為對稱中心，其 x 坐標由 a 與 b 決定。
- 實根個數等於 y=f(x) 圖形與 x 軸交點的數量。
