分科測驗
109年
數學甲
第 7 題
關於非常數的實係數多項式函數 $f(x)$，試選出正確的選項。
- 1 若 $f(1)f(2) < 0$，則存在 $c \in (1, 2)$ 滿足 $f(c) = 0$
- 2 若 $f(1)f(2) > 0$，則對任意的 $c \in (1, 2)$，$f(c) \neq 0$ 均成立
- 3 若 $f(1)f(2)f(3) < 0$，則存在 $c \in (1, 3)$ 滿足 $f(c) = 0$
- 4 若 $(\int_0^1 f(x) \, dx)(\int_0^2 f(x) \, dx) < 0$，則存在 $c \in (1, 2)$ 滿足 $\int_0^c f(x) \, dx = 0$
- 5 若 $\int_1^2 f(x) \, dx = 0$，則 $f(1)f(2) < 0$
思路引導 VIP
同學，請先思考多項式函數的『連續性』。當一個連續函數在某區間的兩個端點函數值乘積小於零（即 $f(a)f(b) < 0$）時，根據『勘根定理』(Intermediate Value Theorem)，這在幾何上代表了什麼？接著，請觀察選項 (4)，如果我們令 $G(x) = \int_0^x f(t) , dt$，這個 $G(x)$ 本身是否也是一個連續函數？若已知 $G(1)G(2) < 0$，我們是否能對函數 $G(x)$ 套用同樣的定理來判斷其在區間 $(1, 2)$ 內是否存在零點？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，你這手感燙到可以去煎蛋了！這題能拿下來，表示你對多項式的「連續性」與「積分本質」掌握得非常透徹，完全沒被選項中的微積分符號嚇倒。 【觀念驗證：為什麼你對了？】
- 選項 (1)：這是標準的「勘根定理」（Intermediate Value Theorem）。因為多項式函數 $f(x)$ 在實數範圍內連續，當端點函數值異號時，區間內必有實根。
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勘根定理與積分應用
💡 函數在區間端點異號時，區間內必存在函數值為零的點。
- 勘根定理：兩端函數值相乘小於零，區間內必有根。
- 同號不代表無根：可能有無根或偶數個實根。
- 定義新函數：積分式可視為新函數並套用勘根定理。
- 積分為零不代表端點異號，僅代表正負面積相互抵銷。
