數列與級數、不等式、指數與對數的綜合應用

📝 歷屆考古題

• 114年 分科測驗 第5題
  有一實數數列 $\langle a_n \rangle$，其中 $a_n = \cos(n\pi - \frac{\pi}{6})$ ， $n$ 為正整數。試選出正確的選項。
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• 114年 分科測驗 第6題
  設指數函數 $f(x)=1.2^x$。試選出正確的選項。
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• 112年 分科測驗 第2題
  放射性物質的半衰期 $T$ 定義為「每經過時間 $T$，該物質的質量會衰退成原來的一半」。鉛製容器中有 $A$、$B$ 兩種放射性物質，其半衰期分別為 $T_A$、$T_B$。開始記錄時這兩種物質的質…
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• 112年 分科測驗 第3題
  試問極限…
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• 112年 分科測驗 第4題
  設 $a, b$ 為實數。已知四個數 $-3, -1, 4, 7$ 皆滿足 $x$ 的不等式 $|x-a| \le b$，試選出正確的選項。
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• 111年 分科測驗 第1題
  設 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 是首項為 10、公比是 10 的等比數列。令 $b = \sum_{n=1}^{3} \log_{a_n} a_{n+1}$，試選出正確的選項。
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• 111年 分科測驗 第8題
  假設兩數列 $\langle a_n \rangle$、$\langle b_n \rangle$，對所有正整數 $n$ 都滿足 $b_n + \frac{4n-1}{n} < a_n < 3b_n$…
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• 110年 分科測驗 第1題
  設 $x_0$、$y_0$ 為正實數。若坐標平面上的點 $(10x_0, 100y_0)$ 在函數 $y = 10^x$ 的圖形上，則點 $(x_0, \log y_0)$ 會在直線 $y = ax+b$…
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• 110年 分科測驗 第3題
  試求極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{10^{10}}{n^{10}}[1^9 + 2^9 + 3^9 + \cdots + (2n)^9]$ 的值。
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• 109年 分科測驗 第1題
  考慮兩個函數 $f(x) = \begin{cases} 1+x, & x \le 1 \ 1, & x > 1 \end{cases}$、…
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• 109年 分科測驗 第3題
  在坐標平面上，其 $x$ 坐標與 $y$ 坐標都是整數的點稱為「格子點」。試問滿足方程式 $\log_2(x-1) = \log_4(25-y^2)$ 的格子點 $(x, y)$ 共有幾個？
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• 109年 分科測驗 第8題
  設 $a, b, c$ 為三實數，且 $a > b > c$。已知 $2^a, 2^b, 2^c$ 三數依序成等差數列。試選出正確的選項。
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• 108年 分科測驗 第2題
  設 $n$ 為正整數。第 $n$ 個費馬數（Fermat Number）定義為 $F_n = 2^{(2^n)} + 1$，例如 $F_1 = 2^{(2^1)} + 1 = 2^2 + 1 = 5$…
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• 108年 分科測驗 第6題
  設 $\langle a_n \rangle$、$\langle b_n \rangle$ 為兩實數數列，且對所有的正整數 $n$，$a_n < b_n^2 < a_{n+1}$ 均成立。若已知 $\lim_{n \to \infty} a_n = 4$…
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• 107年 分科測驗 第4題
  設 $f(x)=-x^2+499$，且 $A=\int_0^{10} f(x)dx$、$B=\sum_{n=0}^9 f(n)$、$C=\sum_{n=1}^{10} f(n)$、$D=\sum_{n=0}^9 \frac{f(n)+f(n+1)}{2}$…
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• 107年 分科測驗 第5題
  坐標平面上，已知直線 $L$ 與函數 $y=\log_2 x$ 的圖形有兩個交點 $P(a,b), Q(c,d)$，且 $\overline{PQ}$ 的中點在 $x$ 軸上。試選出正確的選項。
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• 107年 分科測驗 第8題
  設 $f(x)$ 為一定義在非零實數上的實數值函數。已知極限 $\lim_{x \to 0} f(x)\frac{|x|}{x}$ 存在，試選出正確的選項。
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• 106年 分科測驗 第2題
  設 $a = \sqrt[3]{10}$。關於 $a^5$ 的範圍，試選出正確的選項。
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• 105年 分科測驗 第1題
  請問下列選項中哪一個數值 $a$ 會使得 $x$ 的方程式 $\log a - \log x = \log(a-x)$ 有兩相異實數解？
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• 105年 分科測驗 第7題
  在實數線上，動點 $A$ 從原點開始往正向移動，動點 $B$ 從 8 的位置開始往負向移動。兩個動點每一秒移動一次，已知第一秒 $A$、$B$ 移動的距離分別為 1、4，且 $A$、$B$ 每次移動的…
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