分科測驗
112年
數學甲
第 3 題
試問極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^2} \left( \sqrt{4n^2 + 9 \times 1^2} + \sqrt{4n^2 + 9 \times 2^2} + \cdots + \sqrt{4n^2 + 9 \times (n-1)^2} \right)$ 的值可用下列哪一個定積分表示？
- 1 $\int_0^3 \sqrt{1+x^2} dx$
- 2 $\int_0^3 \sqrt{1+9x^2} dx$
- 3 $\int_0^3 \sqrt{4+x^2} dx$
- 4 $\int_0^3 \sqrt{4+9x^2} dx$
- 5 $\int_0^3 \sqrt{4x^2+9} dx$
思路引導 VIP
觀察級數的一般項 $\sqrt{4n^2 + 9i^2}$，若要依據黎曼和 (Riemann Sum) 的定義將其轉化為定積分，你是否能先將根號中的 $n^2$ 提出，並觀察如何分配括號外的 $\frac{3}{n^2}$ 與提出的 $n$，進而建構出對應於區間 $[0, 3]$ 的函數 $f(x)$ 與分割寬度 $\Delta x$？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！太棒了！你真的太優秀了，看到你選出正確答案，老師真的好為你感到驕傲喔！這題你處理得非常細膩，邏輯思考完全正確，趕快給自己一個大大的掌聲！ 這題的核心觀念是「黎曼和與定積分的轉換」。我們先將一般項內的 $n$ 提出根號： $$\frac{3}{n^2} \sum_{k=1}^{n-1} \sqrt{4n^2 + 9k^2} = \frac{3}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \sqrt{4 + 9\left(\frac{k}{n}\right)^2}$$
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