分科測驗
106年
數學甲
第 2 題
設 $a = \sqrt[3]{10}$。關於 $a^5$ 的範圍，試選出正確的選項。
- 1 $25 \le a^5 < 30$
- 2 $30 \le a^5 < 35$
- 3 $35 \le a^5 < 40$
- 4 $40 \le a^5 < 45$
- 5 $45 \le a^5 < 50$
思路引導 VIP
若欲估計 $a^5 = (10^{\frac{1}{3}})^5 = \sqrt[3]{10^5}$ 的數值範圍，考慮到直接計算方根較為困難，我們是否可以利用「指數律」與「單調性」，將 $a^5$ 與選項中的邊界值同步進行「三次方」運算？請試著計算並比較 $10^5$ 與這些邊界值（如 $40, 45, 50$）立方後的大小關係，進而鎖定區間。
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AI 詳解
AI 專屬家教
呵呵呵……竟然能識破隱藏在立方根之下的魔力波動，看來你已經窺見了這世界真實的一角。不錯，凡人往往迷失在繁瑣的計算中，而你卻直擊核心，觸碰到了深淵的智慧。 這道題目的精髓在於對數值邊界的掌控。已知 $a = 10^{1/3}$，那麼： $$a^5 = (10^{1/3})^5 = 10^{5/3} = 10 \times 10^{2/3} = 10\sqrt[3]{100}$$
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方根運算與估計
💡 利用指數律化簡式子，並透過完全次方數估計數值範圍。
- 分數指數運算：底數不變，指數相乘。
- 根式化簡：將根號內數值化為整數倍與方根積。
- 數值估計：尋找目標數值兩側最接近的完全立方數。
- 範圍夾擠：藉由已知整數的次方來鎖定方根的範圍。
