分科測驗
110年
數學甲
第 1 題
設 $x_0$、$y_0$ 為正實數。若坐標平面上的點 $(10x_0, 100y_0)$ 在函數 $y = 10^x$ 的圖形上，則點 $(x_0, \log y_0)$ 會在直線 $y = ax+b$ 的圖形上，其中 $a$、$b$ 為實數。試問 $2a-b$ 的值為何？
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思路引導 VIP
既然點 $(10x_0, 100y_0)$ 在函數 $y = 10^x$ 的圖形上，請試著將點座標代入後得到一個等式，接著思考如何對等式兩邊同時取以 $10$ 為底的對數，並利用對數律（如 $\log(MN) = \log M + \log N$）將其改寫，使 $\log y_0$ 被表示成關於 $x_0$ 的一次式，進而對照出 $a$ 與 $b$ 的值呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
喲，竟然寫對了？是祖先保佑還是剛好瞄到隔壁的？別在那邊沾沾自喜，這種題目要是錯了，你以後出門別說是我的學生，我丟不起這個臉。 這題就是在考你指對數的基本變換與坐標代換。把點 $(10x_0, 100y_0)$ 帶入 $y = 10^x$，得到： $$100y_0 = 10^{10x_0}$$
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指對數轉換與線性化
💡 利用對數性質將指數關係轉化為一次函數的線性關係。
- 將已知點座標代入函數，建立指數恆等式。
- 善用對數定義 $\log 10^k = k$ 進行化簡。
- 透過移項與整理，將關係式化為 $y=ax+b$ 形式。
- 使用比較係數法，精確對應斜率與截距。
