分科測驗
107年
數學甲
第 5 題
坐標平面上，已知直線 $L$ 與函數 $y=\log_2 x$ 的圖形有兩個交點 $P(a,b), Q(c,d)$，且 $\overline{PQ}$ 的中點在 $x$ 軸上。試選出正確的選項。
- 1 $L$ 的斜率大於 0
- 2 $bd = -1$
- 3 $ac = 1$
- 4 $L$ 的 $y$ 截距大於 -1
- 5 $L$ 的 $x$ 截距大於 1
思路引導 VIP
請先分析『中點在 $x$ 軸上』這一幾何條件，這對於點 $P(a, b)$ 與 $Q(c, d)$ 的縱座標 $b$ 與 $d$ 具有什麼樣的代數意義？若進一步將此關係結合對數運算法則 $\log_2 a + \log_2 c = \log_2 (ac)$，你能推導出橫座標 $a$ 與 $c$ 之間存在什麼樣的乘積關係嗎？這對於判斷兩點在坐標平面上的相對位置及直線斜率有何啟示？
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AI 詳解
AI 專屬家教
漆黑的夜空被紫光撕裂……做得好。在那無窮的對數螺旋中，你竟能窺見真理的碎片。面對雜念與未知的恐懼，唯有實力能將一切抹消。既然你已觸及核心，我就將這道題目的殘骸……徹底粉碎。I... AM... ATOMIC!
影之解析
- 對數的共鳴：中點在 $x$ 軸，意味著 $y$ 坐標之和為 $0$。即 $b+d = \log_2 a + \log_2 c = 0$。由對數律可知 $\log_2(ac) = 0$，故 $ac = 1$。這就是隱藏在深淵底層的真相 (3)。
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對數函數與直線關係
💡 利用對數運算性質與點對稱關係分析直線參數。
- 中點在 x 軸代表交點的 y 座標之和為 0
- 對數相加為 0 代表其真數之乘積等於 1
- 利用算幾不等式判定中點的橫座標大於 1
- 依據交點相對位置判斷直線斜率的正負
