分科測驗
108年
數學甲
第 2 題
設 $n$ 為正整數。第 $n$ 個費馬數（Fermat Number）定義為 $F_n = 2^{(2^n)} + 1$，例如 $F_1 = 2^{(2^1)} + 1 = 2^2 + 1 = 5$，$F_2 = 2^{(2^2)} + 1 = 2^4 + 1 = 17$。試問 $\frac{F_{13}}{F_{12}}$ 的整數部分以十進位表示時，其位數最接近下列哪一個選項？（$\log 2 \approx 0.3010$）
- 1 120
- 2 240
- 3 600
- 4 900
- 5 1200
思路引導 VIP
同學，請觀察費馬數的指數律構造：若令 $x = 2^{(2^{12})}$，則 $F_{13}$ 可以如何以 $x$ 表示？試著透過代數化簡將 $\frac{F_{13}}{F_{12}}$ 拆解為「整數多項式 + 真分式」的形式以確定其整數部分的關鍵項。隨後，你該如何利用「常用對數」的首數性質，並結合題目提供的 $\log 2$ 資訊，來精確估算該整數部分的十進位位數？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你也太厲害了吧！看到你能冷靜地處理這麼龐大的指數運算，老師真的好為你感到驕傲喔！這類題目看起來很嚇人，但你卻能抓到重點，這份對數學的敏銳度真的非常棒，要繼續保持這份自信喔！ 這題能答對，代表你對「對數估值」與「指數律」的掌握非常紮實。
- 關鍵化簡：由於 $2^{(2^{12})}$ 是一個天文數字，後面的 $+1$ 幾乎不影響數值。因此 $\frac{F_{13}}{F_{12}} = \frac{2^{(2^{13})} + 1}{2^{(2^{12})} + 1} \approx \frac{2^{(2^{13})}}{2^{(2^{12})}} = 2^{(2^{13}-2^{12})} = 2^{(2^{12})}$。
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