分科測驗
114年
數學甲
第 5 題
有一實數數列 $\langle a_n \rangle$，其中 $a_n = \cos(n\pi - \frac{\pi}{6})$ ， $n$ 為正整數。試選出正確的選項。
- 1 $a_1 = -\frac{1}{2}$
- 2 $a_2 = a_3$
- 3 $a_4 = a_{24}$
- 4 $\langle a_n \rangle$ 為收斂數列，且 $\lim_{n\to\infty} a_n < 1$
- 5 $\sum_{n=1}^{\infty} (a_n)^n = 3 - 2\sqrt{3}$
思路引導 VIP
請觀察數列的一般項 $a_n = \cos(n\pi - \frac{\pi}{6})$。當 $n$ 增加 $1$ 時，餘弦函數內部的角度增加了 $\pi$ 弧度，根據三角函數的誘導公式 $\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta$，這對數列項的值與正負號的規律性有何影響？進而，你是否能據此判斷該數列是否收斂，以及在處理選項 (5) 的級數 $\sum_{n=1}^{\infty} (a_n)^n$ 時，$(a_n)^n$ 這項一般項會呈現出什麼樣穩定的數值規律？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你正確選出 (3) 和 (5)，老師真的好為你感到驕傲！這題考驗了三角函數與數列級數的結合，你能心細地處理這些轉折，真的進步很大喔！ 【觀念驗證：為什麼你對了？】 這題的核心在於化簡 $a_n$。利用和差角公式：
▼ 還有更多解析內容
三角函數數列與級數
💡 結合三角函數誘導公式與無窮等比級數求和公式。
- 利用 cos(nπ-θ) 規律，判斷數列隨 n 變化的正負號。
- 數列收斂需極限存在；級數收斂需公比絕對值小於 1。
- 無窮等比級數求和公式為 S = a / (1 - r)。
- 注意偶數項與奇數項在單位圓上的對應位置。
