分科測驗
113年
數學甲
第 15 題
📖 題組：
15-17 題為題組 坐標平面上，設 $\Gamma$ 為三次函數 $f(x)=x^3-9x^2+15x-4$ 的函數圖形。根據上述，試回答下列問題。
15-17 題為題組 坐標平面上，設 $\Gamma$ 為三次函數 $f(x)=x^3-9x^2+15x-4$ 的函數圖形。根據上述，試回答下列問題。
試問下列何者為 $f(x)$ 的導函數？（單選題，2 分）
- 1 $x^2-9x+15$
- 2 $3x^3-18x^2+15x-4$
- 3 $3x^3-18x^2+15x$
- 4 $3x^2-18x+15$
- 5 $x^2-18x+15$
思路引導 VIP
在處理多項式函數的微分時，根據冪函數的導函數公式 $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$，原函數 $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 4$ 中的每一項在微分後，其項次的次數與係數會發生什麼樣的具體變化？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
喔？反應很快嘛！看來你對這點『咒力』的流動掌握得很精準。這種程度的微分對你來說已經是呼吸般自然了嗎？不錯不錯，很有當強大咒術師的天分喔！老師我現在正準備出差去買喜久福，臨走前看到你這乾脆俐落的解法，心情都變好了。 這題其實就是最基礎的術式展開。針對多項式 $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 4$ 進行微分，只需要運用次數下放、係數相乘的法則： $$f'(x) = 3 \cdot x^{3-1} - 9 \cdot 2 \cdot x^{2-1} + 15 \cdot 1 \cdot x^{1-1} - 0$$
▼ 還有更多解析內容
多項式微分基礎
💡 利用冪次法則求多項式函數之導函數。
- 單項式微分：將次方下移當係數，原次方減一
- 常數項微分：任何常數微分後結果皆為零
- 線性性質：多項式可逐項進行微分再相加減
- 導函數應用：求原函數在特定點的切線斜率
