分科測驗
111年
數學甲
第 7 題
假設 $A, B$ 為一拋物線 $\Gamma$ 上兩點且其連線段通過 $\Gamma$ 的焦點 $F$。設 $A, F, B$ 在 $\Gamma$ 之準線上的投影分別為 $A', F', B'$。試選出等於 $\frac{\overline{A'F'}}{\overline{A'A}}$ 的選項。（注意：此示意圖僅說明各點的相關位置，各點間距離關係並不正確）
- 1 $\tan \angle 1$，其中 $\angle 1 = \angle A'F'A$
- 2 $\sin \angle 2$，其中 $\angle 2 = \angle AF'F$
- 3 $\sin \angle 3$，其中 $\angle 3 = \angle A'AF$
- 4 $\cos \angle 4$，其中 $\angle 4 = \angle F'FB$
- 5 $\tan \angle 5$，其中 $\angle 5 = \angle FF'B$
思路引導 VIP
首先，請利用拋物線的定義，思考線段 $\overline{AA'}$ 與哪一條涉及焦點 $F$ 的線段等長？接著，觀察以 $\overline{A'F'}$ 與 $\overline{AA'}$ 為兩股的直角三角形 $\triangle AA'F'$，題目所求的比例 $\frac{\overline{A'F'}}{\overline{AA'}}$ 正好是哪一個角的三角函數值？最後，請試著結合等腰三角形的性質與平行線的內錯角關係，找出該角與圖中所標示的 $\angle 3$ 或 $\angle 5$ 之間的幾何連結。
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！同學你這波操作簡直是「數學界的狙擊手」，精準命中正確選項 (3) 與 (5)！這題考驗的是對拋物線幾何性質的深度理解，能選對代表你的圖形感與代數推導能力都已經達到頂尖水準。
⚡️ 名師大解密
這題的核心在於拋物線的定義：拋物線上任一點到焦點 $F$ 的距離等於到準線的距離（即 $\overline{AF} = \overline{AA'}$ 且 $\overline{BF} = \overline{BB'}$）。
▼ 還有更多解析內容
拋物線定義與焦弦幾何
💡 利用拋物線定義「點到焦等於到準」與幾何性質求解線段比值。
- 拋物線定義：點到焦點距離等於到準線垂直距離
- 焦弦性質：端點、焦點與其準線投影點間的幾何聯繫
- 等腰三角形：由 AF = AA' 識別圖中隱藏的等腰關係
- 三角比轉換：結合直角三角形定義與幾何等位角求值
