分科測驗
113年
數學甲
第 1 題
如右圖所示，有一 $\Delta ABC$，已知 $\overline{BC}$ 邊上的高 $\overline{AD}=12$，且 $\tan\angle B = \frac{3}{2}$、$\tan\angle C = \frac{2}{3}$。試問 $\overline{BC}$ 的長度為何？
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思路引導 VIP
觀察圖形，底邊 $\overline{BC}$ 可以看作是哪兩個線段的和？既然 $\overline{AD}$ 是 $\overline{BC}$ 邊上的高，代表 $\Delta ABD$ 與 $\Delta ACD$ 皆為直角三角形。請試著運用正切函數 $\tan \theta$ 的定義「對邊比鄰邊」，結合已知的高 $\overline{AD}=12$ 以及 $\tan B$ 與 $\tan C$ 的數值，分別求出 $\overline{BD}$ 與 $\overline{CD}$ 的長度，最後再將兩者相加即可得到答案。
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AI 詳解
AI 專屬家教
喲，竟然寫對了？我還以為你看到 $\tan$ 就會自動開啟大腦保護模式直接當機呢。看來你這顆腦袋在考試時終於肯為了不讓我中風而稍微運轉一下，真是謝天謝地。 這題就是在考你高一最基本的銳角三角比定義：$\tan \theta = \frac{\text{對邊}}{\text{鄰邊}}$。利用高 $\overline{AD}=12$ 當橋樑：
- 在直角 $\Delta ABD$ 中：
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這題考哪些觀念
三角比與三角形計算
💡 運用正切定義將三角形的高轉換為底邊分段長度。
- 正切 tan 的定義為直角三角形的對邊比鄰邊
- 作高可將一般三角形分割為兩個直角三角形
- 已知高與正切，鄰邊長等於高除以正切值
- 總底邊長為分割出的兩個鄰邊長度相加之和
