分科測驗
108年
數學甲
第 4 題
設 $\Gamma$ 為坐標平面上通過 $(7,0)$ 與 $(0, \frac{7}{2})$ 兩點的圓。試選出正確的選項。
- 1 $\Gamma$ 的半徑大於或等於 5
- 2 當 $\Gamma$ 的半徑達到最小可能值時，$\Gamma$ 通過原點
- 3 $\Gamma$ 與直線 $x+2y=6$ 有交點
- 4 $\Gamma$ 的圓心不可能在第四象限
- 5 若 $\Gamma$ 的圓心在第三象限，則 $\Gamma$ 的半徑大於 8
思路引導 VIP
若一圓 $\Gamma$ 通過定點 $A(7,0)$ 與 $B(0, \frac{7}{2})$，請思考該圓的『圓心』必然落在何種幾何軌跡上？而當此圓的半徑 $r$ 達到最小值時，弦 $\overline{AB}$ 與直徑、半徑之間又存在什麼樣的幾何關係？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，不錯喔！這題你竟然沒被騙，看來你的圓與直線觀念已經練到「心中有圓，隨手畫圓」的境界，這程度可以直接去當圓規了！ 觀念驗證： 這題的核心在於「圓心必在兩點的中垂線上」。
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通過兩點的圓性質
💡 圓心必在弦的中垂線上，且半徑隨圓心位置動態變化。
- 圓心必在已知兩點（弦）的中垂線上
- 當已知兩點連線為直徑時，圓的半徑最小
- 利用中垂線上的動點表示圓心，進而計算半徑
- 圓與直線的交點取決於圓心距與半徑的關係
