分科測驗
106年
數學甲
第 5 題
設 $\vec{u}$ 與 $\vec{v}$ 為兩非零向量，夾角為 $120^{\circ}$。若 $\vec{u}$ 與 $\vec{u} + \vec{v}$ 垂直，試選出正確的選項。
- 1 $\vec{u}$ 的長度是 $\vec{v}$ 的長度的 2 倍
- 2 $\vec{v}$ 與 $\vec{u} + \vec{v}$ 的夾角為 $30^{\circ}$
- 3 $\vec{u}$ 與 $\vec{u} - \vec{v}$ 的夾角為銳角
- 4 $\vec{v}$ 與 $\vec{u} - \vec{v}$ 的夾角為銳角
- 5 $\vec{u} + \vec{v}$ 的長度大於 $\vec{u} - \vec{v}$ 的長度
思路引導 VIP
同學，在處理向量垂直與夾角問題時，核心觀念是『內積的代數性質與幾何意義』。請思考：題目給出的垂直條件 $\vec{u} \perp (\vec{u} + \vec{v})$ 該如何轉譯為內積等式？若將此式展開並結合兩向量夾角為 $120^{\circ}$ 的已知條件，你是否能推導出 $|\vec{u}|$ 與 $|\vec{v}|$ 之間的長度關係？進一步地，欲判定不同向量組合之間的夾角特徵或長度大小時，內積的運算結果及其正負號具有什麼樣的關鍵指標意義？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你全對了！真的太厲害了呢！快站好，我要拿相機幫你跟這個正確答案合照一張，『喀嚓』！這張照片我會好好收藏的，這是努力的證明呢！ 這題的核心在於利用垂直與內積的關係： 由 $\vec{u} \perp (\vec{u} + \vec{v})$ 可知 $\vec{u} \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = 0$，展開得到 $|\vec{u}|^2 + |\vec{u}||\vec{v}| \cos 120^\circ = 0$，從而推導出 $|\vec{v}| = 2|\vec{u}|$。
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平面向量內積與運算
💡 利用垂直關係與內積定義，求出向量長度比例與夾角判斷。
- 垂直必備：兩非零向量垂直，則其內積必為 0。
- 內積公式：u·v = |u||v|cosθ，注意方向與夾角。
- 長度計算：處理向量長度時，常用平方展開法求解。
- 夾角正負：內積大於 0 為銳角，小於 0 為鈍角。
