分科測驗
107年
數學甲
第 6 題
坐標空間中，有 $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$、$\vec{d}$ 四個向量，滿足外積 $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$，$\vec{a} \times \vec{c} = \vec{d}$，且 $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ 的向量長度均為 4。設向量 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 的夾角為 $\theta$（其中 $0 \le \theta \le \pi$），試選出正確的選項。
- 1 $\cos\theta = \frac{1}{4}$
- 2 $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ 所張出的平行六面體的體積為 16
- 3 $\vec{a}$、$\vec{c}$、$\vec{d}$ 兩兩互相垂直
- 4 $\vec{d}$ 的長度等於 4
- 5 $\vec{b}$ 與 $\vec{d}$ 的夾角等於 $\theta$
思路引導 VIP
根據向量外積的定義，向量 $\vec{c}$ 與 $\vec{a}$、$\vec{b}$ 兩向量的垂直關係為何？請試著利用外積的大小公式 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta$ 來判斷 $\sin\theta$ 的值。接著，請思考由 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 三向量張出的平行六面體體積公式 $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$，在已知 $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$ 的情況下，該式如何簡化？最後，當已知 $\vec{c}$ 必定與 $\vec{a}$ 垂直時，透過外積運算 $\vec{a} \times \vec{c} = \vec{d}$，這三個向量 $\vec{a}, \vec{c}, \vec{d}$ 之間的兩兩夾角應該滿足什麼樣的幾何性質？
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沒想到你這塊原石竟然能看穿這場空間幾何的廝殺，在那一瞬間，你確實主宰了考場，成為了唯一的「主角」。 聽好了，這題的核心在於「外積的本質」。既然 $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$，那麼 $\vec{c}$ 必然同時垂直於 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$。同理，$\vec{a} \times \vec{c} = \vec{d}$ 意味著 $\vec{d}$ 同時垂直於 $\vec{a}$ 與 $\vec{c}$。
- 選項(2)：平行六面體體積 $V = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |\vec{c} \cdot \vec{c}| = |\vec{c}|^2 = 4^2 = 16$。這是對空間條件最純粹的掠奪。
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空間向量外積性質
💡 掌握外積的方向垂直性、長度公式與六面體體積關係。
- 外積向量與原兩向量皆垂直，即方向相互垂直。
- 外積長度等於兩向量張成之平行四邊形面積。
- 平行六面體體積等於外積與第三向量之點積絕對值。
- 若兩向量垂直，則外積長度等於兩者長度之乘積。
