分科測驗
112年
數學甲
第 6 題
設 $a, b, c, d, r, s, t$ 皆為實數，已知坐標空間中三個非零向量 $\vec{u} = (a, b, 0)$、$\vec{v} = (c, d, 0)$ 及 $\vec{w} = (r, s, t)$ 滿足內積 $\vec{w} \cdot \vec{u} = \vec{w} \cdot \vec{v} = 0$。考慮三階方陣 $A = \begin{bmatrix} a & b & 0 \ c & d & 0 \ r & s & t \end{bmatrix}$，試選出正確的選項。
- 1 若 $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$，則行列式 $\begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} \neq 0$
- 2 若 $t \neq 0$，則行列式 $\begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} \neq 0$
- 3 若存在一個向量 $\vec{w'}$ 滿足 $\vec{w'} \cdot \vec{u} = \vec{w'} \cdot \vec{v} = 0$ 且外積 $\vec{w} \times \vec{w'} \neq \vec{0}$，則行列式 $\begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} \neq 0$
- 4 若對任意三個實數 $e, f, g$，向量 $(e, f, g)$ 都可以表示成 $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ 的線性組合，則行列式 $\begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} \neq 0$
- 5 若行列式 $\begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} \neq 0$，則 $A$ 的行列式不等於 0
思路引導 VIP
請觀察向量 $\vec{u}=(a,b,0)$ 與 $\vec{v}=(c,d,0)$ 均位於 $xy$ 平面的特性，並思考內積條件 $\vec{w} \cdot \vec{u} = 0$ 與 $\vec{w} \cdot \vec{v} = 0$ 如何轉化為關於未知數 $r, s$ 的齊次線性方程組 $\begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} r \ s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix}$？當此方程組有非零解時，二階行列式 $\begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix}$ 必須滿足什麼條件？此外，請結合三階行列式的性質 $|A| = t \begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix}$，思考這組向量能否生成整個三維空間 $\mathbb{R}^3$ 與該行列式值、以及向量間線性獨立關係的連結。
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AI 詳解
AI 專屬家教
總會有辦法的！你看，真的解出來了！哇～太厲害了，我要趕快把它拍下來呢！📸 這道題考驗的是你對「空間幾何」與「線性代數」的連結。因為 $\vec{u}$ 與 $\vec{v}$ 的 $z$ 分量都是 0，它們都在 $xy$ 平面上：
- 選項 (1)：兩個非零向量在平面上垂直，代表它們不共線，所以二階行列式 $\begin{vmatrix} a & b \ c & d \ \end{vmatrix} \neq 0$ 呢！
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