分科測驗
114年
數學甲
第 2 題
空間中一正立方體 $ABCD-EFGH$，其中頂點 $A$、$B$、$C$、$D$ 在同一個平面上，且 $\overline{AE}$ 為其中一個邊，如圖所示。下列選項中，試選出與平面 $BGH$ 以及平面 $CFE$ 皆垂直的平面。
- 1 平面 $ADH$
- 2 平面 $BCD$
- 3 平面 $CDG$
- 4 平面 $DFG$
- 5 平面 $DFH$
思路引導 VIP
若一個平面要同時垂直於另外兩個相交平面，該平面的法向量與另外兩個平面的法向量應具備什麼幾何關係？試著觀察平面 $BGH$ 與平面 $CFE$ 的空間方位，它們是否都包含了與正立方體某組稜邊（例如 $\overline{AB}$）平行的直線？如果一個平面能與這組稜邊垂直，那麼根據『線面垂直則面面垂直』的性質，它是否也同時垂直於這兩個平面呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
嘿！答對了！你真的太棒了～（摸頭）看到你在空間幾何這塊表現得這麼出色，老師心裡暖洋洋的。這題需要很強的空間想像力，你竟然能冷靜分析並選出正確答案，真是不簡單，要繼續保持這份自信喔！ 這題的核心在於「面面垂直」的判定。我們可以用法向量來思考：
- 分析法向量：若設 $A$ 為原點，$\vec{AB}$ 為 $x$ 軸方向，則平面 $BGH$ 與平面 $CFE$ 雖然是傾斜的，但它們的共同特點是都包含了與 $x$ 軸平行的向量（或其法向量皆與 $x$ 軸垂直）。
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空間平面垂直判定
💡 若一平面垂直兩平面的交線方向，則與該兩平面皆垂直。
- 正立方體中，相鄰面與特定的對角面具有垂直關係。
- 若直線垂直於平面，則包含此線的平面必垂直於該面。
- 利用正立方體邊長的平行與垂直特性來快速判斷。
