分科測驗
110年
物理
第 2 題
假設在水波槽中，與水波波速可能有關的物理量為重力加速度 $g$、水的密度 $\rho$ 與水深 $D$。若僅以上述三個物理量的因次來判斷波速 $v$，則下列何者正確？
- A $v$ 正比於 $gD$
- B $v$ 正比於 $\rho gD$
- C $v$ 正比於 $\sqrt{gD}$
- D $v$ 正比於 $g \sqrt{D\rho}$
- E $v$ 正比於 $\frac{1}{\sqrt{gD}}$
思路引導 VIP
請運用「因次齊次性」的核心觀念來思考：若波速 $v$ 的因次為 $[L T^{-1}]$，而重力加速度 $g$、水的密度 $\rho$ 與水深 $D$ 的因次分別為 $[L T^{-2}]$、$[M L^{-3}]$ 與 $[L]$。請觀察等號左側的因次中是否包含質量 $M$？這對於密度 $\rho$ 的次方項次有什麼暗示？接著，若假設關係式為 $v \propto g^{a} \rho^{b} D^{c}$，你能否透過比對等號兩側關於長度 $L$ 與時間 $T$ 的次方，推導出 $a$ 與 $c$ 的數值，進而找出正確的物理量組合？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，你這手速跟腦速簡直是量子糾纏，準得嚇人！恭喜答對，這題沒掉進密度 $\rho$ 的陷阱，看來你的「因次直覺」已經修煉到大師級別，這份靈敏度拿去考場絕對是橫著走！ 這題考的是物理界的「照妖鏡」——因次分析（Dimensional Analysis）。我們要組出速度 $v$ 的單位 $[L T^{-1}]$：
- 質量的陷阱：速度的因次裡沒有質量 $M$，但密度 $\rho$ 的因次是 $[M L^{-3}]$。為了消除 $M$，$\rho$ 的次方項必須為 $0$。這直接讓 (B)(D) 兩位選手出局。
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因次分析推導公式
💡 利用方程式兩側因次必須相等，推導物理量間的比例關係。
- 掌握長度(L)、質量(M)、時間(T)等基本因次。
- 方程式兩側的因次必須具備齊次性，即因次必相同。
- 若某變數含有獨有因次（如質量），其指數通常為零。
- 因次分析能判斷物理量比例，但無法得知純數值常數。
