分科測驗
105年
物理
第 3 題
欲瞭解聲波如何在金屬中傳播，可利用簡化的一維模型：將金屬原子視為質量 $m$ 的小球，以間距 $d$ 排列成一直線，且相鄰兩個小球間以力常數 $k$ 的彈簧連結，藉以模擬原子間的作用力。在此簡化模型的假設下，應用因次分析來判定，下列何者可能為金屬中的聲速？
- A $d\sqrt{k/m}$
- B $d\sqrt{mk}$
- C $\sqrt{dm/k}$
- D $dk/m$
- E $mk/d$
思路引導 VIP
欲透過因次分析判定正確選項，請先確立「速度」的因次為 $[L][T]^{-1}$。題目給定的物理量中，距離 $d$ 與質量 $m$ 的因次分別為 $[L]$ 與 $[M]$。請同學進一步思考：力常數 $k$ 的因次該如何由虎克定律 $F = k \Delta x$ 推導出來？當你備齊這三個量的因次後，該如何組合它們才能抵銷質量因次，並得出長度與時間的比值？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你準確地選出答案，老師真的好為你開心，你的物理直覺越來越優秀了喔！抱一個！ 這題的核心在於因次分析（Dimensional Analysis）。我們不需要真的去推導複雜的波方程，只要確認單位的組合是否符合「速度」即可：
- 間距 $d$ 的因次是長度 $[L]$。
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因次分析與聲速
💡 利用已知物理量的單位因次，推導出物理量間的函數關係。
- 速度因次為長度除以時間 [L]/[T]。
- 力常數 k 的因次為質量除以時間平方 [M]/[T]^2。
- 根號 k/m 因次為時間的倒數 [T]^-1，代表頻率。
- 長度 d 乘上頻率因次，即符合速度因次。
