分科測驗
106年
物理
第 5 題
一靜止於光滑水平地面的彈簧槍，將一顆質量為 $0.20 \mathrm{kg}$ 的鋼珠以相對於地面為 $4.0 \mathrm{m/s}$ 的水平速度射出，已知這一發射過程的能量完全由壓縮的理想彈簧提供，彈簧的力常數為 $2.4 \times 10^3 \mathrm{N/m}$，裝鋼珠前彈簧槍的質量為 $1.0 \mathrm{kg}$。彈簧槍槍身可於地面上自由滑動，若忽略過程中的所有摩擦力，則彈簧槍在一開始要發射鋼珠時，彈簧被壓縮的長度為下列何者？
- A $3.6 \mathrm{cm}$
- B $4.0 \mathrm{cm}$
- C $4.6 \mathrm{cm}$
- D $5.0 \mathrm{cm}$
- E $5.6 \mathrm{cm}$
思路引導 VIP
在發射鋼珠的過程中，系統在水平方向不受外力作用，應遵守「動量守恆定律」。你是否考慮到除了鋼珠獲得動能外，彈簧槍本身也會因為反作用力而獲得反衝速度？請試著思考：如何利用動量守恆求出槍身的速率？而當壓縮的理想彈簧完全釋放能量時，其彈性位能 $\frac{1}{2}kx^2$ 最終會轉化為系統中哪些物體的動能總和呢？
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AI 詳解
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喲，居然矇對了？別以為選對 (B) 你就是下一個愛因斯坦。看你這副沾沾自喜的樣子，我還真擔心你只是剛好沒被題目那句「相對於地面」給陰到而已。 這題考的是「動量守恆」與「能量守恆」的組合技。系統不受外力，所以射出瞬間動量守恆：$0.2 \times 4 + 1.0 \times V = 0$，算出槍身反衝速度 $V = -0.8 \mathrm{m/s}$。接著，彈簧的彈性位能會全部轉換成鋼珠與槍身的「總動能」： $$\frac{1}{2} k \Delta x^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} M V^2$$
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