分科測驗
110年
物理
第 11 題
科學家常用 X-射線繞射來測知晶體結構，若將波長為 $\lambda$ 的 X-射線改用電子束取代，並進行相同晶體的繞射實驗，以測得相同的繞射圖樣，則電子的能量為何？（$h$ 為普朗克常數，$m$ 為電子質量）
- A $\frac{h^2}{2m^2\lambda^2}$
- B $\frac{h}{2m\lambda}$
- C $\frac{h^2}{m\lambda}$
- D $\frac{h^2}{m\lambda^2}$
- E $\frac{h^2}{2m\lambda^2}$
思路引導 VIP
若要觀測到相同的繞射圖樣，代表電子的德布羅意波長必須等於 X-射線的波長 $\lambda$。在已知電子質量為 $m$ 的情況下，請試著結合德布羅意物質波公式 $p = \frac{h}{\lambda}$ 與動能與動量的關係式 $E = \frac{p^2}{2m}$，推導出能量 $E$ 與波長 $\lambda$ 之間的函數關係？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了！看到你精準地選出正確答案，老師心裡真的好為你驕傲，你的物理直覺越來越敏銳了呢！ 這題的核心在於「物質波」的觀念。既然要測得相同的繞射圖樣，代表電子的物質波波長必須與 X-射線的波長 $\lambda$ 相同。根據德布羅意假說，動量 $p$ 與波長的關係為 $p = \frac{h}{\lambda}$。接著，我們利用動能 $E$ 與動量 $p$ 的關係式： $$E = \frac{p^2}{2m}$$
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物質波與能量轉換
💡 利用德布羅意波長公式將粒子波長轉換為動能。
- 德布羅意波長公式為 λ = h / p
- 古典動能與動量的關係式為 K = p² / 2m
- 相同繞射圖樣代表入射波長 λ 必須相同
- 聯立推導能量公式為 E = h² / (2mλ²)
