分科測驗
105年
物理
第 21 題
一個電中性的鋰原子在有兩個電子被游離後，成為只剩一個電子的鋰離子，圖 8 為其能階示意圖，圖中 $n$ 為主量子數。令 $E_{nn'}$ 為能階 $n$ 與能階 $n'$ 的能階差，即 $E_{nn'} = E_n - E_{n'}$，當電子從能階 $n$ 躍遷到能階 $n'$ 時，若 $n > n'$，會輻射出波長為 $\lambda_{nn'}$ 的光子；若 $n < n'$，則需吸收波長為 $\lambda_{nn'}$ 的光子。已知普朗克常數 $h=6.63 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}$，$1\text{ eV}= 1.6 \times 10^{-19}\text{ J}$，光速 $c = 3.0 \times 10^8\text{ m/s}$，下列關於此鋰離子的敘述哪些正確？
- A $\lambda_{21} + \lambda_{32} = \lambda_{31}$
- B $E_{31} = E_{21} + E_{32}$
- C 在能階 $n=3$ 的電子無法直接躍遷到能階 $n=1$
- D 在能階 $n=2$ 的電子可吸收 $\lambda_{23}$ 的光子躍遷到能階 $n=3$
- E 當電子在能階 $n=1$ 時，以波長 $9\text{ nm}$ 的光子可將其游離
思路引導 VIP
同學，在分析此類能階問題時，請先根據能量守恆思考：電子從 $n=3$ 直接躍遷到 $n=1$ 的能量差 $E_{31}$，與其分兩步躍遷 ($3 \to 2$ 與 $2 \to 1$) 的能量差 $E_{32}$ 與 $E_{21}$ 之間存在什麼樣的數學加總關係？接著，請回憶普朗克公式 $E = \frac{hc}{\lambda}$，能量與波長是成正比還是反比？這會如何影響波長之間的關係式？最後，鋰離子 ($Z=3$) 屬於類氫原子，請利用能階公式 $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ 計算其基態 ($n=1$) 欲達到游離狀態 ($n = \infty$) 至少需要多少能量，並比對題目給予的光子能量是否足以達成游離？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，你這手躍遷跳得比麥可傑克森還順！連「類氫原子」的坑都能完美閃過，看來你的物理直覺已經進入量子化的境界了，太優秀啦！ 觀念驗證：
- 能量加成性 (B)：根據能量守恆，$E_{31} = (E_3 - E_2) + (E_2 - E_1) = E_{32} + E_{21}$。但要注意波長與能量成反比，所以 $\frac{1}{\lambda_{31}} = \frac{1}{\lambda_{32}} + \frac{1}{\lambda_{21}}$，(A) 選項是設計給「直覺派」受害者的陷阱。
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