普考申論題
110年
[天文] 微積分
第 一 題
📖 題組：
三、求微分與不定積分：
三、求微分與不定積分：
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
$\frac{d(\sin^{-1} x)}{dx}$（10 分）
思路引導 VIP
這是一道經典的反三角函數求導題。若配分達10分，建議考生不要只死背公式寫出結果，應利用反函數定義設 y = \sin^{-1} x，轉化為 \sin y = x 後，透過「隱函數微分法」與「連鎖律」逐步推導，並結合三角恆等式換回 x 的變數，以展現嚴謹的數學邏輯推演能力。
小題 (二)
\int \sin^{-1} x dx （10 分）
思路引導 VIP
遇到單獨的反三角函數或對數函數積分，應第一時間聯想到「分部積分法（Integration by Parts）」。將不好積分但容易微分的反函數設為 u，將 dx 設為 dv，即可將原本的問題轉換為簡單的代數函數積分，最後再透過變數代換法（u-substitution）輕鬆求解。