普考申論題
111年
[氣象] 微積分
第 二 題
二、求反三角函數f(x,y) = tan⁻¹(y/x)之所有二階偏微分。(20分)
📝 此題為申論題
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看到反三角函數的偏微分，首先要聯想到 d(tan⁻¹u)/du = 1/(1+u²) 的微分公式。求二階偏微分時，必須先嚴謹地透過連鎖律求出 f_x 與 f_y 並將其化至最簡式。接著利用商的微分法則或連鎖律對 x, y 分別進行二次偏導，計算過程可透過克萊羅定理（Clairaut's Theorem）檢驗混合偏導數 f_xy 與 f_yx 是否相等，以確保推導無誤。
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【解題思路】利用反三角函數微分公式及連鎖律求出一階偏導數並將之化簡，再應用除法法則與連鎖律求出所有四個二階偏導數。 【詳解】 已知函數 $f(x,y) = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$，根據反三角函數微分公式 $\frac{d}{du}\tan^{-1}(u) = \frac{1}{1+u^2}$ 及連鎖律展開計算。
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