普考申論題
113年
[天文] 微積分
第 三 題
若定義 F(r) = e^r / r，r = G(x, y, z) = √(x^2 + y^2 + z^2)，H(x, y, z) = F(G(x, y, z))，試計算 ΔH := ∂^2H/∂x^2 + ∂^2H/∂y^2 + ∂^2H/∂z^2。（25 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到這類與空間距離 $r$ 相關的高維拉普拉斯算子（Laplacian）計算題，首要策略是避免一開始就對 $x, y, z$ 分別展開龐大的求導。應利用多變數微積分的連鎖律，先推導出徑向函數的通式 $\Delta F(r) = F''(r) + \frac{2}{r}F'(r)$，最後再將函數的一、二階導數代入，如此能大幅降低計算錯誤率。
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【解題思路】利用多變數連鎖律，先推導徑向函數的拉普拉斯算子通式 $\Delta F(r) = F''(r) + \frac{2}{r}F'(r)$，再代入特定函數求值。 【詳解】 已知：
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