普考申論題
108年
[天文] 微積分
第 一 題
一、請求出函數 f(x, y, z) = 2x + y - z 在區域 {(x, y, z) : x² + y² + 2z² ≤ 1} 的最大及最小值。（25 分）
📝 此題為申論題
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看到求函數在有界閉區域上的極值，應優先考慮分「內部」與「邊界」兩部分探討。內部找梯度為零的臨界點，邊界則利用「拉格朗日乘數法」（Lagrange Multipliers）建立聯立方程式求解。
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【解題思路】利用梯度檢驗區域內部的臨界點，並透過拉格朗日乘數法（Lagrange Multipliers）求出邊界上的極值。 【詳解】 已知：目標函數 $f(x, y, z) = 2x + y - z$，約束區域為 $D = {(x, y, z) : x^2 + y^2 + 2z^2 \leq 1}$。
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