普考申論題
106年
[天文] 微積分
第 三 題
三、利用 Lagrange 乘數（multiplier），求 x^2 + 2xy 於單位圓 x^2 + y^2 = 1 之最大值。（20 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
遇到在特定限制條件下求極值的題目，標準作法為拉格朗日乘數法（Lagrange Multipliers）。建立 ∇f = λ∇g 方程組後，除了常規地解出 x, y 座標再代回原式外，本題可透過代數技巧將方程式組合，直接發現目標函數值 f(x,y) 恰等於 λ，從而快速鎖定最大值。
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【解題思路】運用拉格朗日乘數法（Lagrange Multipliers）建構梯度聯立方程組，並透過代數結構的觀察，直接推導出目標函數值與乘數 λ 之間的等價關係，以求得極大值。 【詳解】 已知：目標函數 $f(x,y) = x^2 + 2xy$，約束條件 $g(x,y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$。
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拉格朗日乘數法
💡 利用目標函數與約束條件之梯度平行原理求解條件極值問題。
🔗 拉格朗日乘數法解題標準程序
- 1 設定方程 — 列出各分量偏導關係 $f_x = \lambda g_x, f_y = \lambda g_y$
- 2 聯立約束 — 納入 $g(x,y)=c$ 組成完整方程組
- 3 消元求解 — 求出變數 $(x,y)$ 或直接求出乘數 $\lambda$
- 4 極值比較 — 將所有候選解代入 $f(x,y)$ 判定最大最小值
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🔄 延伸學習：延伸學習：當約束條件不只一個時，需引入多個乘數 $\lambda_1, \lambda_2$。
