普考申論題
106年
[天文] 微積分
第 三 題
三、利用 Lagrange 乘數（multiplier），求 x^2 + 2xy 於單位圓 x^2 + y^2 = 1 之最大值。（20 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
遇到在特定限制條件下求極值的題目，標準作法為拉格朗日乘數法（Lagrange Multipliers）。建立 ∇f = λ∇g 方程組後，除了常規地解出 x, y 座標再代回原式外，本題可透過代數技巧將方程式組合，直接發現目標函數值 f(x,y) 恰等於 λ，從而快速鎖定最大值。
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【解題思路】運用拉格朗日乘數法（Lagrange Multipliers）建構梯度聯立方程組，並透過代數結構的觀察，直接推導出目標函數值與乘數 λ 之間的等價關係，以求得極大值。 【詳解】 已知：目標函數 $f(x,y) = x^2 + 2xy$，約束條件 $g(x,y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$。
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