普考申論題
109年
[氣象] 微積分
第 五 題
五、試求下列積分 ∭_V (x + y/3 + z/5)^2 dxdydz，此處 V = {(x, y, z) | x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, 15x + 5y + 3z ≤ 15}。（20分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
觀察積分區域邊界方程式 15x+5y+3z=15，將其同除以 15 後可得 x+y/3+z/5=1，恰好與被積函數的底數相同。因此，本題最適合採用「變數代換法（求 Jacobian 行列式）」，將積分區域轉換為標準的第一卦限四面體後，再進行逐層積分即可大幅簡化計算。
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【解題思路】觀察積分區域與被積函數的特徵，利用變數代換（Jacobian行列式）將不規則的積分區域簡化為標準四面體，再透過逐層積分完成計算。 【詳解】 已知：
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