普考申論題
113年
[天文] 微積分
第 四 題
令 D = {(x, y) | 0 ≤ 3x + 4y ≤ 2, 0 ≤ 3x - 4y ≤ 2}，試計算下列重積分的值：∬_D (9x^2 + 16y^2) dx dy。（25 分）
📝 此題為申論題
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觀察到積分區域 D 的邊界由一次方程式構成，這類題型應立即聯想到「多變數函數的變數代換」。令 u = 3x + 4y 與 v = 3x - 4y，不僅能將積分範圍轉化為簡單的矩形區域，同時觀察被積分式 9x^2 + 16y^2 剛好可由 u^2 + v^2 湊出，藉由計算雅可比行列式（Jacobian）即可大幅簡化計算過程。
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【解題思路】利用「變數代換（雅可比行列式 Jacobian）」將複雜的菱形積分區域轉換為簡明的矩形區域，並利用代數恆等式轉換被積分式以簡化計算。 【詳解】 已知：積分區域 D = {(x, y) | 0 ≤ 3x + 4y ≤ 2, 0 ≤ 3x - 4y ≤ 2}，求 ∬_D (9x^2 + 16y^2) dx dy。
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