普考申論題
112年
[天文] 微積分
第 一 題
📖 題組：
四、(一)求 $\int_0^2 xe^{2x} dx$ 之值。（15分） (二)求重積分 $\int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-x^2}} \sqrt{x^2 + y^2} dy dx$ 之值。（15分）
四、(一)求 $\int_0^2 xe^{2x} dx$ 之值。（15分） (二)求重積分 $\int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-x^2}} \sqrt{x^2 + y^2} dy dx$ 之值。（15分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求 ∫₀² $xe^{2x}$ dx 之值。（15分）
思路引導 VIP
觀察被積函數為多項式函數 $x$ 與指數函數 $e^{2x}$ 的乘積，首選『分部積分法』。設定 $u=x$ 以透過微分降階，$dv=e^{2x}dx$ 進行積分，求出不定積分後再代入上下限即可得解。
小題 (二)
求重積分 ∫₀¹ ∫₀$^{√(1-x²)}$ √(x² + y²) dy dx 之值。（15分）
思路引導 VIP
觀察被積函數 $\sqrt{x^2+y^2}$ 以及積分上限 $y=\sqrt{1-x^2}$（暗示圓方程式 $x^2+y^2=1$），應立刻聯想到使用「極坐標轉換」來化簡。解題關鍵在於正確還原積分區域（第一象限的四分之一圓），找出對應的極角 $\theta$ 與極徑 $r$ 範圍，並務必記得面積元素轉換時需乘上雅可比（Jacobian）行列式因子 $r$。
積分技巧與座標轉換
💡 掌握分部積分選位技巧與二重積分之極座標轉換運算。
🔗 定積分標準解題流程
- 1 判斷技巧 — 觀察函數型態，選擇分部積分 (IBP) 或變數變換。
- 2 參數設定 — 令 u=x, dv=e^{2x}dx；求出 du 與 v。
- 3 公式套用 — 代入 ∫u dv = uv - ∫v du 得到不定積分式。
- 4 邊界代值 — 代入上限 2 與下限 0，進行數值化簡求最終值。
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🔄 延伸學習：延伸學習：使用「表格法」處理 x 的高次方積分可大幅提升速度。
