普考申論題
112年
[天文] 微積分
第 一 題
📖 題組：
四、(一)求 ∫₀² xe^{2x} dx 之值。（15分） (二)求重積分 ∫₀¹ ∫₀^{√(1-x²)} √(x² + y²) dy dx 之值。（15分）
四、(一)求 ∫₀² xe^{2x} dx 之值。（15分） (二)求重積分 ∫₀¹ ∫₀^{√(1-x²)} √(x² + y²) dy dx 之值。（15分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求 ∫₀² xe^{2x} dx 之值。（15分）
思路引導 VIP
觀察被積函數為多項式函數 $x$ 與指數函數 $e^{2x}$ 的乘積，首選『分部積分法』。設定 $u=x$ 以透過微分降階，$dv=e^{2x}dx$ 進行積分，求出不定積分後再代入上下限即可得解。
小題 (二)
求重積分 ∫₀¹ ∫₀^{√(1-x²)} √(x² + y²) dy dx 之值。（15分）
思路引導 VIP
觀察被積函數 $\sqrt{x^2+y^2}$ 以及積分上限 $y=\sqrt{1-x^2}$（暗示圓方程式 $x^2+y^2=1$），應立刻聯想到使用「極坐標轉換」來化簡。解題關鍵在於正確還原積分區域（第一象限的四分之一圓），找出對應的極角 $\theta$ 與極徑 $r$ 範圍，並務必記得面積元素轉換時需乘上雅可比（Jacobian）行列式因子 $r$。