普考申論題
105年
[天文] 微積分
第 四 題
四、假設一個xyz空間實體（solid）D 是由兩個圓柱
$x^2 + y^2 \le 1$ 及 $x^2 + z^2 \le 1$
所交集出來的空間區域。求此實體 D 的體積為何。（20 分）
📝 此題為申論題
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這是一道經典的「牟合方蓋」（Steinmetz solid）體積問題。看到兩個相交的圓柱體，應立刻聯想到利用對稱性將體積縮減至第一卦限（乘以8），並透過將區域投影到某個坐標平面（例如 xy 平面）來設立三重積分或雙重積分的上下限。
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【解題思路】運用多重積分求空間實體體積，透過觀察實體對稱性簡化積分範圍，並設定適當的積分順序（先積 z、再積 y、最後積 x）來進行嚴謹推導。 【詳解】 已知：實體 $D$ 是由圓柱 $x^2 + y^2 \le 1$ 與 $x^2 + z^2 \le 1$ 交集而成。
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