普考申論題
108年
[天文] 微積分
第 三 題
三、設曲線 L = {(x, sin x) : x ∈ [0, π/2]}，請求出 L 繞 x 軸一圈所產生的曲面的面積。（25 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到求繞 x 軸的旋轉曲面面積，應立刻想到套用公式 S = ∫ 2πy√(1+(y')²) dx。代入 y=sin(x) 後，可透過變數代換法（令 u=cos(x)）將被積函數化簡為 √(1+u²) 的形式，最後利用三角代換（u=tanθ）或分部積分法求出定積分即可得解。
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【解題思路】利用繞 x 軸旋轉的曲面面積公式，結合變數代換與三角函數積分技巧進行嚴謹求解。 【詳解】 已知：曲線方程式為 y = sin x，區間為 x ∈ [0, π/2]。
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