普考申論題
109年
[氣象] 微積分
第 四 題
四、已知函數 F(x, y, z) = x + 3y + 5z，G(x, y) = x^2 + 9y^2 及 H(x, z) = x + 5z。試求 F(x, y, z) 在 G(x, y) = 2 與 H(x, z) = 1 的條件下之最大值與最小值。（20分）
📝 此題為申論題
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面對多變數函數在等式條件下的極值問題，應直覺想到「拉格朗日乘數法（Lagrange Multipliers）」來建立方程組求解。同時，亦可觀察目標函數與限制條件的代數結構，本題中目標函數包含 x+5z，恰為限制條件之一，透過「代入消去法」可大幅簡化計算程序。
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【解題思路】本題為多重限制條件下的極值問題，標準解法為「拉格朗日乘數法（Lagrange Multipliers）」；同時，透過觀察變數關係，亦可使用「代入消去法」降維求解。 【詳解】 方法一：拉格朗日乘數法
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