普考申論題
109年
[氣象] 微積分
第 一 題
一、令 h(x) = f(g(x)) + f(2x) / (f(2x) + g(x))。已知 f(2) = g(1) = 2，f'(2) = g'(1) = 3，求 h(x) 的函數圖形在點 (1, h(1)) 之切線方程式。（20分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到求切線方程式的題型，首要任務是找出「切點座標（代入 x=1）」與「切線斜率（求導後代入 x=1）」。此題核心在於考驗對複合函數微分的熟練度，計算過程中必須嚴格遵守「連鎖律（Chain Rule）」處理內層函數 $2x$ 與 $g(x)$ 的微分，並搭配「除法法則（Quotient Rule）」展開分式，最後再將給定的函數值與導數值精準代入即可。
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【解題思路】利用連鎖律（Chain Rule）與除法微分法則（Quotient Rule）求出導函數取得切線斜率，再計算原函數之函數值取得切點座標，最後代入點斜式完成切線方程式推導。 【詳解】 已知：$x = 1$, $f(2) = g(1) = 2$, $f'(2) = g'(1) = 3$
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複合函數與切線方程
💡 運用連鎖律與商法則求導函數，並配合點斜式推導切線方程式。
🔗 切線方程式求解邏輯鏈
- 1 座標定位 — 將已知 x 代入 h(x) 取得 y 座標
- 2 運算導函數 — 運用連鎖律與商法則求出 h'(x)
- 3 計算斜率 — 將 x 代入 h'(x) 取得切線斜率 m
- 4 建立方程 — 代入點斜式並整理成最終一般式
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🔄 延伸學習：延伸學習：此流程亦適用於求解法線方程式，僅需將斜率改為負倒數 (-1/m)。
