普考申論題
106年
[天文] 微積分
第 一 題
一、設函數 f(x) = x^{1/3}，求函數 f 對 x = 8 的泰勒公式（Taylor formula）至第二階，並利用此結果證明 2 < 8.03^{1/3} < 2.0025。（20 分）
📝 此題為申論題
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本題測驗「泰勒展開式與誤差估計」的核心概念。解題時需先明確寫出帶有拉格朗日餘項（Lagrange Remainder）的二階泰勒公式，接著將 x=8.03 代入，透過評估「二階修正項」為負以及「三階餘項」的正值與極小特性，嚴謹地夾擠出函數值的上下界限。
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【解題思路】利用帶有拉格朗日餘項（Lagrange remainder）的泰勒公式展開函數，並透過評估各階微小項的數值大小與正負號來證明不等式。 【詳解】 一、求函數 $f(x) = x^{1/3}$ 至第二階的泰勒公式
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