普考申論題
112年
[天文] 微積分
第 一 題
📖 題組：
二、(一)求冪級數 ∑_{n=1}^{∞} n(x - 2)ⁿ 之收斂半徑（radius of convergence）及收斂區間（interval of convergence）。（15分） (二)求函數 f(x) = √(1 + x) 在 x = 0 之四階泰勒多項式（Taylor polynomial）。（15分）
二、(一)求冪級數 ∑_{n=1}^{∞} n(x - 2)ⁿ 之收斂半徑（radius of convergence）及收斂區間（interval of convergence）。（15分） (二)求函數 f(x) = √(1 + x) 在 x = 0 之四階泰勒多項式（Taylor polynomial）。（15分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求冪級數 ∑_{n=1}^{∞} n(x - 2)ⁿ 之收斂半徑（radius of convergence）及收斂區間（interval of convergence）。（15分）
思路引導 VIP
看到冪級數求收斂區間，首先想到使用「比值審斂法」（Ratio Test）找出使相鄰項比值極限小於 1 的 x 範圍，藉此求得收斂半徑與初步的開區間。接著務必將該區間的兩個端點分別代入原級數，利用一般項極限測試（第 n 項發散測試法）獨立判斷端點的收斂性，才能給出完整的收斂區間。
小題 (二)
求函數 f(x) = √(1 + x) 在 x = 0 之四階泰勒多項式（Taylor polynomial）。（15分）
思路引導 VIP
看到求泰勒多項式，首先確認展開點（本題為 x=0，即馬克勞林多項式）與階數（四階）。解題核心是依序計算出函數的一階到四階導數，並代入 x=0 取得各階導函數值，最後套用泰勒多項式公式展開並化簡；或者可直接利用廣義二項式級數公式展開求解。