普考申論題
113年
[天文] 微積分
第 一 題
📖 題組：
試分別求下列的極限值：（每小題 15 分，共 30 分） (一) lim n→∞ Σ_{k=1}^n (2k/n^2) sin(kπ/2n)。 (二) lim x→∞ (1/x^{2.01}) ∫_0^{x^2} ln(t^2 + 1) dt。
試分別求下列的極限值：（每小題 15 分，共 30 分） (一) lim n→∞ Σ_{k=1}^n (2k/n^2) sin(kπ/2n)。 (二) lim x→∞ (1/x^{2.01}) ∫_0^{x^2} ln(t^2 + 1) dt。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
lim n→∞ Σ_{k=1}^n (2k/n^2) sin(kπ/2n)
思路引導 VIP
觀察題目為求極限的無窮級數和，應優先聯想到「黎曼和（Riemann Sum）」與定積分的轉換。將表達式重組並提出 1/n 作為區間寬度 Δx，把 k/n 視作變數 x，即可將原式化為定積分，隨後再透過分部積分法（Integration by parts）求出確切數值。
小題 (二)
lim x→∞ (1/x^{2.01}) ∫_0^{x^2} ln(t^2 + 1) dt
思路引導 VIP
看到含有變數上限的積分式與分母皆趨近於無窮大，應立刻聯想到這是 ∞/∞ 型不定型極限。解題關鍵在於利用「微積分基本定理」配合「連鎖律」對分子求導，並連續使用「洛必達法則」直到可直接比較分子與分母的最高次數為止。