普考申論題
107年
[天文] 微積分
第 一 題
求 lim_{n→∞} (1 + 1/(2n))^{4n} 。（15 分）
📝 此題為申論題
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看到底數趨近於 1、指數趨近於無窮大的「1^∞」不定型極限，應優先聯想到自然對數底數 e 的定義式：lim_{x→∞} (1 + 1/x)^x = e。解題時可透過變數變換（如令 u = 2n）與指數律，將原函數配湊成標準形式即可輕鬆求解。
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【解題思路】利用自然對數底數 $e$ 的基本定義 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ 進行代數配方與變數變換求值。 【詳解】 已知：自然指數的極限定義為 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$
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