普考申論題
106年
[天文] 微積分
第 一 題
📖 題組：
四、(一)敘述級數積分檢定法（integral test for series）。（10 分） (二)利用此檢定法，證明 \sum_{k=1}^\infty 1/k^2 收斂，且其收斂值小於 2。（10 分）
四、(一)敘述級數積分檢定法（integral test for series）。（10 分） (二)利用此檢定法，證明 \sum_{k=1}^\infty 1/k^2 收斂，且其收斂值小於 2。（10 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
敘述級數積分檢定法（integral test for series）。
思路引導 VIP
看到「敘述積分檢定法」，必須立刻聯想到函數的三大必要條件：『連續 (continuous)』、『正值 (positive)』、『遞減 (decreasing)』。作答時需嚴謹定義函數與數列的對應關係，並清楚說明瑕積分與無窮級數的斂散性具有一致性。
小題 (二)
利用此檢定法，證明 \sum_{k=1}^$\infty 1/k^2$收斂，且其收斂值小於 2。
思路引導 VIP
看到此題，首要步驟是將級數轉換為對應的實數函數 f(x)=1/x^2，並嚴謹驗證積分檢定法的三大前提：連續、正值、遞減。接著計算瑕積分證明收斂，最後利用函數遞減特性，以「定積分面積 > 級數對應矩形面積」的幾何不等式關係，單獨保留首項並將其餘項轉為積分來得出小於 2 的收斂上界。