普考申論題
105年
[天文] 微積分
第 一 題
📖 題組：
計算下列各式：
計算下列各式：
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
lim_{x -> 1^+} (1/ln x - 1/(x-1))。(15 分)
思路引導 VIP
遇到包含兩個分數相減的極限題，首先代入極限值判斷是否為 $\infty - \infty$ 不定型。解題關鍵在於將式子通分合併，將其轉換為標準的 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 不定型，接著連續應用洛必達法則逐步降階求出極限值。
小題 (二)
d^3/dx^3 ln|2x+1|。(15 分)
思路引導 VIP
看到對數函數帶絕對值的微分，首要聯想公式 d/dx ln|u| = u'/u，並利用連鎖律求出第一階導數。為了求高階導數，強烈建議將一階導數改寫為「負整數次方」的代數形式（即 k(ax+b)^{-n}），如此一來，後續只需反覆操作冪次法則與連鎖律，可大幅降低使用商數法則帶來的計算錯誤率。