普考申論題
111年
[氣象] 微積分
第 一 題
📖 題組：
一、下列函數:(每小題10分,共20分) (←)在那些地方連續?那些地方不連續?請詳述理由。 (二)在那些地方可微分?那些地方不可微分?請詳述理由。 f(x) = { 1/x sinx, x≠0 ; 1, x = 0 }
一、下列函數:(每小題10分,共20分) (←)在那些地方連續?那些地方不連續?請詳述理由。 (二)在那些地方可微分?那些地方不可微分?請詳述理由。 f(x) = { 1/x sinx, x≠0 ; 1, x = 0 }
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
在那些地方連續?那些地方不連續?請詳述理由。
思路引導 VIP
面對分段函數的連續性問題，應將定義域分為「分段點」與「非分段點」兩部分討論。非分段點通常可直接利用基本函數的連續性質（如商的連續性）說明；分段點（此題為 x=0）則必須嚴格利用連續性定義檢驗其極限值是否等於函數值。
小題 (二)
在那些地方可微分?那些地方不可微分?請詳述理由。
思路引導 VIP
判斷分段函數的可微性需分段討論：當 x ≠ 0 時，可直接引用基本函數的四則運算與商法則說明其可微性；而在分界點 x = 0 處，則必須嚴格回歸導數的極限定義，當遇到 0/0 不定型時再搭配洛必達法則或泰勒展開式求得極限值。