普考申論題
113年
[天文] 微積分
第 二 題
已知函數 f(x) 滿足 ∫_0^{x^2+1} f(t) dt = (x+1) / e^x，試求 f(x) 的函數圖形在點 (2, f(2)) 之切線方程式。（20 分）
📝 此題為申論題
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看到帶有變數上限的積分方程式，首先應想到利用「微積分基本定理」與「連鎖律」對等式兩側求導，以消除積分符號並提取出目標函數 f(x)。接著透過代入適當的 x 值（使上限 x^2+1=2），分別求出切點座標 f(2) 與切線斜率 f'(2)，最後利用點斜式寫出切線方程式。
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【解題思路】利用微積分基本定理與連鎖律對積分方程式兩邊求導，找出 $f(x)$ 及其導函數 $f'(x)$ 在特定點的數值，再代入點斜式求切線方程式。 【詳解】 已知：$\int_0^{x^2+1} f(t) dt = \frac{x+1}{e^x} = (x+1)e^{-x}$
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