普考申論題
107年
[天文] 微積分
第 一 題
📖 題組：
二、(一)求通過 x^2 + x - xy^3 + 2y + 2 = 0 之圖形上一點 (1, 2) 之切線方程式。（15 分） (二)已知 f(x) = 1/(1 - x)，求 f^{(n)}(0)。（15 分）
二、(一)求通過 x^2 + x - xy^3 + 2y + 2 = 0 之圖形上一點 (1, 2) 之切線方程式。（15 分） (二)已知 f(x) = 1/(1 - x)，求 f^{(n)}(0)。（15 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求通過 x^2 + x - xy^3 + 2y + 2 = 0 之圖形上一點 (1, 2) 之切線方程式。
思路引導 VIP
看到方程式無法直接寫成 y = f(x) 的形式求切線，應立即想到使用「隱函數微分法」。對方程式兩邊同對 x 微分，遇 xy 交叉項注意使用乘法法則與連鎖律求出 y'，再將已知點代入求得該點的切線斜率，最後用點斜式寫出方程式。
小題 (二)
已知 f(x) = 1/(1 - x)，求 f^{(n)}(0)。
思路引導 VIP
看到求高階導數在特定點的值，應先計算前幾階導數以觀察規律，歸納出 f^{(n)}(x) 的一般通式。此外，本題函數形式極為經典，亦可透過熟知的無窮幾何級數（Maclaurin 級數）展開式，利用對應項係數相等的觀念快速求解。