普考申論題
112年
[天文] 微積分
第 一 題
📖 題組：
三、(一)求函數 f(x, y) = xe^{xy} 之所有一階及二階偏導數。（10分） (二)求函數 f(x, y) = x² - y² + xy - x + y 在點 (1, 2) 沿向量 u = < 3, 4 > 之方向導數（directional derivative）。（15分）
三、(一)求函數 f(x, y) = xe^{xy} 之所有一階及二階偏導數。（10分） (二)求函數 f(x, y) = x² - y² + xy - x + y 在點 (1, 2) 沿向量 u = < 3, 4 > 之方向導數（directional derivative）。（15分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求函數 f(x, y) = xe^{xy} 之所有一階及二階偏導數。（10分）
思路引導 VIP
求解偏導數時，核心原則是「對某個變數偏微時，將另一個變數視為常數」。在求一階偏導數 f_x 時，需特別注意同時包含 x 的兩項相乘，必須使用乘法法則與連鎖律；最後可藉由檢驗 f_xy = f_yx (克萊羅定理) 來確認計算是否正確。
小題 (二)
求函數 f(x, y) = x² - y² + xy - x + y 在點 (1, 2) 沿向量 u = < 3, 4 > 之方向導數（directional derivative）。（15分）
思路引導 VIP
計算方向導數時，首先必須求出函數的梯度向量（即偏導數），接著務必檢查給定的方向向量是否為「單位向量」，若不是則需先進行單位化，最後將點代入梯度後與單位向量求內積即為所求。